Bài 1. Đạo hàm

1. Đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$ và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$.

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm $x_0$, kí hiệu là $f^{\prime }\left(x_0\right)$ hoặc $y^{\prime }\left(x_0\right)$

Vậy:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Chú ý:

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm $x\in \left(a;b\right)$thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại $x_0\in \left(a;b\right)$.

a) Đại lượng $\Delta x=x-x_0$ gọi là số gia của biến tại $x_0$. Đại lượng $y=f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x=x_0+\Delta \mathrm{x\; và}$

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$.

b) Tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ $x_0$ đến $x_0+\Delta x$; còn $f^{\prime }\left(x_0\right)$ biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm $x_0$.

2. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

– Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì $f^{\prime }\left(t_0\right)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$.

– Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì $f^{\prime }\left(t_0\right)$biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm $t_0$.

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$ với đồ thị (C) của hàm số tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$

Tiếp tuyến $M_{0}T$ có phương trình là y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)

Bài tập

Bài 1: Dùng định nghĩ để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) 

b) 

c) 

Bài 2: Cho hàm số f(x) = −2x² có đồ thị (C) và điểm A(1;−2) ∈ (C). Tính hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³

a) Tại điểm (-1;1)

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài 4: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức

a) lãi kép với kì hạn 6 tháng

b) lãi kép liên tục