Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (α) và (β), kí hiệu ((α), (β)).
Ngoài ra, góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho c = (α) ∩ (β)
((α),(β))=(a,b) với a ⊂ (α),b ⊂ (β), a ⊥ c, b ⊥ c (Hình 4).
2. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.
Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc được kí hiệu là (P) L (O).
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
Định lí 2:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cử đường thăng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Định lí 3:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Định nghĩa:
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác đều.
Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Sử dụng quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta chứng minh được các tính chất sau đây của các hình vừa nêu:
Chú ý: Lăng trụ đều có đầy tử giác thường được gọi là lăng trụ tử giác đều. Tương tự ta cũng có lăng trụ tam giác đều, lăng trụ lục giác đều, …
5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý: Hình chóp đều có:
+) Các mặt bên là các tam giác cân tại định hình chóp và bằng nhau.
+) Đoạn thẳng nổi từ định hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của hình chóp.
+) Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.
b) Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Ví dụ minh họa
Câu 1 Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Hướng dẫn giải
+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ BI (1)
+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).
⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB .
Vậy: A sai
Câu 2. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:
a) (ABD) ̂ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC);
b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD);
c) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC (1)
AD vuông góc với (α) nên AD ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (ABD) suy ra BC ⊥ DB
{█((ABC ∩(DBC)@BD ⊥BC@AB ⊥BC)┤
⇒ góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng BD và BA
Mà DA ⊥(ABC)⇒DA ⊥ AB⇒ (ABD) ̂ < 90°
Vậy (ABD) ̂ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
b) {█(BC ⊥(ABD)@BC ⊂(BCD) )┤ ⇒(ABD)⊥(BCD)
c) Do (P) đi qua A, H, K nên mặt phẳng (P) ≡ (AHK) đi qua A và vuông góc với BD nên HK ⊥ BD
Trong (BCD) có: HK ⊥ BD và BC ⊥ BD nên suy ra HK // BC.
Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)
a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAC)
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng (ABI) ⊥ (SBC)
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài bằng và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:
a) (SBC) ⊥ (SAD)
b) (SAB) ⊥ (SAC)
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA’ = 2a, AD = 2a, AB = BC = a
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC’
b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.