Bài 2. Phép tính lôgarit

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương a, b với $a\ne 1$. Số thực $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức $a^{\alpha }=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log }_{a}b$.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Chú ý:

Từ định nghĩa, ta có:

• ${\log }_{a}1=0;{\log }_{a}a=1;{\log }_a{a}^b=b$.
• ${\log }_{10}b$ được viết là $\log b$ hoặc $\lg b$;
• ${\log }_{e}b$ được viết là $\ln b$.

2. Tính chất

Với $a>0,a\ne 1,M>0,N>0$, ta có:

• ${\log }_a\left(MN\right)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ (lôgarit của một tích)
• ${\log }_a\left(\frac{M}{N}\right)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$ (lôgarit của một thương)
• ${\log }_a{M}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}M\left(\alpha \in R\right)$ (lôgarit của một lũy thừa)

Chú ý: Đặc biệt, ta có:

• ${\log }_a\frac{1}{N}=-{\log }_{a}N$
• ${\log }_a\sqrt[n]{nM}=\frac{1}{n}{\log }_{a}M$ với $n\in N$

3. Công thức đổi cơ số

Cho các số dương a, b, N, $a\ne 1,b\ne 1$, ta có:

${\log }_{a}N=\frac{{\log }_{b}N}{{\log }_b}$.

Đặc biệt, ta có:

${\log }_{a}N=\frac{1}{{\log }_{N}a}\left(N\ne 1\right)$

${\log }_{a^{\alpha }}N=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}N\left(\alpha \ne 0\right)$.

Bài tập

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 

b) 

c) log1000

d) 

Bài 2: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư)

a) 

b) log8 – log3

c) 3ln2

Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 

b) 

c) 

Bài 4: Đặt log2 = a; log3 = b. Biểu thị các biểu thức sau theo a và b

a) log₄9

b) log₆12

c) log₅6