Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa:
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.
Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) được kí hiệu là (a, (P)).Chú ý:
+) Góc a giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thoả mãn 0 < a < 90° +) Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì (a, (P)) = 0°
1.2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
a) Góc nhị diện
Định nghĩa:
Cho hai nửa mặt phẳng (P1) và (Q1) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi (P1), (Q1) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi (P1) và (Q1), kí hiệu [P1, d, Q1].
Hai nửa mặt phẳng (P1), (Q1) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.
Chú ý: +) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến ở tạo thành bốn góc nhị diện.
+) Góc nhị diện [P1, d, Q1] còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng (P1), (Q1).
b) Góc phẳng nhị diện Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Chú ý:
+) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
+) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt (P1), (Q1) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì góc uOv là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi (P1), (Q1).
+) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
+) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
+) Số đo góc nhị diện nhận giá trị tử 00 đến 180° VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết SA = a√3, AB = a và BC = 2a√2 a. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD). b. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
Hướng dẫn giải
Ta có SA ⊥ (ABCD) => A là hình chiếu của S lên (ABCD).
=> AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
=> Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC và bằng (SCA) ̂
a có ABCD là hình chữ nhật nên AC = √(AB^2+ BC^2 )=3a.
tan (SCA) ̂ = SA/AC=√3/3 ⟹ (SCA=30°) ̂
Vậy góc giữa SC và (ABCD) là 30°
Ta có {█(BC ⊥AB@BC ⊥SA( SA ⊥(ABCD)) )┤
=> BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB)
Mà {█((SAB)⊥(ABCD) @(SAB)∩(SBC)=SB@SAB ∩(ABCD)=AB)┤
=> Góc giữa (SBC) và (ABCD) là (SBA) ̂
tan (SBA=SA/BA) ̂=√(3 ) => (SBA=60°) ̂
Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) là 60°
Bài tập
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD, Vẽ hình bình hành BCED
a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD)
b) Tìm góc phẳng nhị diện [A,CD,B]; [A,CD,E]
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và có tất cá các cạnh bằng nhau.
a) Tìm góc giữa đường thẳng SA và (ABCD)
b) Tìm góc phẳng nhị diện [A, SO, B], [S, AB, O]
Bài 3: Cho hình chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ với O và O’ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và , OO’ = a
a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy
b) Tìm góc phẳng nhị diện [O, AB, A’], [O’, A’B; A]
Bài 4: Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như trong Hình 9
a) Tính số đo góc giữa đường thẳng CA’ và (CC’B’B)
b) Tính số đo góc nhị diện cạnh CC’