Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Trung vị
1.1. Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Gọi n là cỡ mẫu.
• Giả sử nhóm [um; um + 1) chứa trung vị.
• nm là tần số của nhóm chứa trung vị.
• C = n1 + n2 + … + nm – 1.
Khi đó, ta có công thức xác định trung vị như sau:

1.2. Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
– Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.
Ví dụ: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau:
Cân nặng (g) [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175)
Số quả bơ 1 7 12 3 2
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Gọi x1; x2;….; x25 là cân nặng của 25 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm.
Do x1 ∈ [150; 155); x2,…., x8 ∈ [155; 160); x9,…., x20 ∈ [160; 165) nên trung vị của mẫu số liệu x1; x2;….; x25 là x13 ∈ [160; 165).
Ta xác định được n = 25, nm = 12, C = 1 + 7 = 8, um = 160, um + 1 = 165.
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Me=160+\frac{\frac{25}{2}-8}{12}(165-160)=161,875 ơ/latex]</p> <p>2. Tứ phân vị 2.1. Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q2, cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm. - Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q1, ta thực hiện như sau: • Giả sử nhóm [um; um + 1) chứa tứ phân vị thứ nhất. • nm là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất. • C = n1 + n2 + ... + nm – 1. Khi đó,</p> <p>- Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q3, ta thực hiện như sau: • Giả sử nhóm [uj; uj + 1) chứa tứ phân vị thứ ba. • n j là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba. • C = n1 + n2 + ... + nj – 1. Khi đó,</p> <p>Chú ý: • Nếu tứ phân vị thứ k là \frac{1}{2}(xm+xm+1)ơ/latex], trong đó xm và xm + 1 thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như xm ∈ [uj – 1; uj) và xm + 1 ∈ [uj; uj + 1) thì ta lấy Qk = uj. 2.2. Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau. Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. - Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. - Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn Q2) và nửa trên (các dữ liệu lớn hơn Q2) của mẫu số liệu. Ví dụ: Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau: Số lần gặp sự cố [1; 2] [3; 4] [5; 6] [7; 8] [9; 10] Số xe 17 33 25 20 5 Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Ta có: do số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau: Số lần gặp sự cố [0,5; 2,5) [2,5; 4,5) [4,5; 6,5) [6,5; 8,5) [8,5; 10,5) Số xe 17 33 25 20 5 Gọi x1; x2;....; x100 là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có x1,...., x17 ∈ [0,5; 2,5); x18,...., x50 ∈ [2,5; 4,5); x51,...., x75 ∈ [4,5; 6,5); x76,..., x95 ∈ [6,5; 8,5); x96,...., x100 ∈ [8,5; 10,5). Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x1; x2;....; x100 là \frac{1}{2}(x50+x51) Do x50 ∈ [4,5; 6,5) và x51 ∈ [4,5; 6,5) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là Q2=4,5.
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x1; x2;....; x100 là \frac{1}{2}(x25+x26). Do x25 và x26 thuộc nhóm [2,5; 4,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
Q1=2,5+\frac{\frac{1.100}{4}-17}{33}(4,5-2,5) =\ \frac{197}{66}≈2,98.
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x1; x2;....; x100 là \frac{1}{2} (x75+x76). Do x75 ∈ [4,5; 6,5) và x76 ∈ [6,5; 8,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là Q3=6,5.