Bài 2. Cấp số cộng

1. Cấp số cộng
– Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:
un + 1 = un + d với n ∈ ℕ*.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ: Cho cấp số cộng: −12;0;12;32;…−12; 0; 12; 32; … Tìm số hạng đầu, công sai và u5.
Hướng dẫn giải
Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu $u1=-\frac{1}{2}; công sai d=\frac{1}{2}.$
Ta có $u4=\frac{3 }{2} nên u5=u4+d=\frac{3}{2} +\frac{1}{2}=2.$
2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định lí 1: Nếu một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d, n ≥ 2.
Ví dụ: Cho một cấp số cộng có u1 = −3; u6 = 27.
Hướng dẫn giải
Ta có: u6 = u1 + (6 – 1)d = 27
⇔ −3 + 5d = 27 ⇔ 5d = 30 ⇔ d = 6.
3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Định lí 2: Giả sử (un) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un, khi đó