Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản
- Phương trình sin x = m
Xét phương trình sin x = m.
- Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:
x = α + k2π, k ∈ ℤ
và x = π – α + k2π, k ∈ ℤ,
với α là góc thuộc [-] sao cho sin α = m.
Chú ý:
Một số trường hợp đặc biệt:
- sin x = 1 ⇔x=+k2π,k ∈ Z
- sin x = −1 ⇔x=-+k2π,k ∈ Z
- sin x = 0 ⇔ x = kπ,k ∈ Z
Ta có:
- sin u = sin v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = π – v + k2π, k ∈ ℤ.
- sin x = sin a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = 180° − a° + k360°, k ∈ ℤ.
- Phương trình cos x = m
Xét phương trình cos x = m.
- Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:
x = α + k2π, k ∈ ℤ
và x = – α + k2π, k ∈ ℤ,
với α là góc thuộc [0; π] sao cho cos α = m.
Chú ý:
Một số trường hợp đặc biệt:
- cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ;
- cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ;
- cos x = 0 ⇔x=π2+kπ,k∈Z.
Ta có:
- cos u = cos v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = –v + k2π, k ∈ ℤ.
- cos x = cos a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = −a° + k360°, k ∈ ℤ.
- Phương trình tan x = m
Với mọi số thực m, phương trình tan x = m có nghiệm
x = α + kπ, k ∈ ℤ,
với α là góc thuộc () sao cho tan α = m.
Chú ý: tan x = tan a° ⇔ x = a° + k180°, k ∈ ℤ.
Ví dụ: tan x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.
- Phương trình cot x = m
Với mọi số thực m, phương trình cot x = m có nghiệm
x = α + kπ, k ∈ ℤ,
với α là góc thuộc (0; π) sao cho cot α = m.
Chú ý: cot x = cot a° ⇔ x = a° + k.180°, k ∈ ℤ.
5.Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay
Ấn liên tiếp các phím SHIFT, sin/cos/tan và giá trị lượng giác của góc lượng giác bất kỳ để tìm ra góc lượng giác đó theo đơn vị radian hoặc theo đơn vị độ.
Chú ý: để giải phương trình cot x = m (m ≠ 0), ta giải phương trình tanx=
- Các dạng phương trình lượng giác.
Dạng 1: Phương trình bậc nhất và bậc hai.
1. asinx+b=0
2. acosx+b=0
3. atanx+b=0
4. acotx=0
————–
1. asin^2x+bsinx+c=0
2. acos^2x+bcosx+c=0
3. atan^2x+btanx+c=0
4. acot^2x+bcotx+c=0
Chú ý:
-1\le sinx \le 1
-1\le cosx \le 1
Dạng 2: Phương trình bậc nhất theo sin và cos: asinx+bcosx=c.
Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Điều kiện có nghiệm: a^2+b^2\geq c^2
Chia hai vế phương trình cho \sqrt{a^2+b^2}
Pt \Leftrightarrow\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1
Nên đặt: cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
sinx.cos\alpha+cosx.sin\alpha=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}<=>sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}
Phương trình trở thành:
sinx.cos\alpha+cosx.sin\alpha=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}<=>sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}
Chú ý: Áp dụng các công thức sau:
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
sin(a-b)=sinacosb+cosasinb
cos(a+b)=cosacosb+sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 2sin2x + 2sinx.cosx – 5cos2x = 0
b) √3sinx−cosx=√2
Bài 2. Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x.
Bài 3. Tìm x ∈ [0; 14] sao cho: cos3x – 4cos2x + 3cos x – 4 = 0. (1)