Bài 3. Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu\limx\ xf(x) = f(x0)

Nhận xét: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x0 thì phải có cả ba điều sau:
• Hàm số xác định tại x0;
• Tồn tại \lim{x\rightarrow x0}{)}=f(x0);
• \lim{x\rightarrow x0}{f(x} = f(x0) .
Chú ý: Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f (x) gián đoạn tại điểm x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x).

Hướng dẫn giải
Ta có:

Vì \lim\below{x\rightarrow1\pm}{f\left(x\right)=\lim\below{x\rightarrow1-}{f\left(x\right)=f(1)}} nên hàm số trên liên tục tại điểm x = 1.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và \lim\below{x\rightarrow a+}{f\left(x\right)=\lim\below{x\rightarrow b-}{f\left(x\right)=f(b)}}.
Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số y=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x} trên [−2; 2].
Hướng dẫn giải
Với mọi x0 ∈ (-2; 2), ta có:

Vậy hàm số y=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x} liên tục trên đoạn [−2; 2].
3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp
• Hàm số đa thức y = P (x) , các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.
• Hàm số phân thức y = \frac{P(x)}{Q(x)}, hàm số căn thức y = \sqrt{P(x)}, các hàm số lượng giác y=tanx, y=cotx= liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.
Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng xác định của nó.
Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) y = 2×3 + 3×2 – 2;
b) y=\frac{x^2+x+1}{x-2}</span>
Hướng dẫn giải
a) y = 2×3 + 3×2 – 2 là hàm số đa thức nên nó liên tục trên ℝ.
b) y=\frac{x^2+x+1}{x-2} là hàm số phân thức, có tập xác định (–∞; 2) ∪ (2; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).
4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Cho hai hàm số số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
• Hàm số y =\frac{f(x)}{g(x)}liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số y=\frac{x-2}{\sqrt{x-4}}
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số: D = (4; +∞).
Các hàm số y = x – 2 và y=\sqrt{x-4} liên tục tại mọi điểm x0 ∈ D.
Do đó, hàm số y=\frac{x-2}{\sqrt{x-4}} liên tục trên khoảng (4; +∞).

Bài tập

Bài 1. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình 3x³ + x² – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).