Bài 3. Cấp số nhân

CẤP SỐ NHÂN

1. Cấp số nhân

– Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:

u_{n + 1} = u_n . q với n ∈ ℕ*.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3, u₂ = −6. Tìm công bội của cấp số nhân đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có: u₂ = u₁ . q ⇔ −6 = 3.q ⇔ q = −2.

Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là −2.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định lí 1: Nếu một cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n – 1}, n ≥ 2.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 8 và q = −2. Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.

Ta có: u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = 8 . (−2)⁴ = 8 . 16 = 128.

Vậy số hạng thứ năm của cấp số nhân (u_n) là 128.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Định lí 2: Giả sử (u_n) là một cấp số nhân có công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + … + u_n, khi đó:

Chú ý: Khi q = 1 thì S_n = n . u₁.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2, u₂ = −4. Tính S₄ của cấp số nhân đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có: u₂ = u₁ . q ⇔ −4 = 2.q ⇔ q = −2.

Bài tập
Bài 1. Cho cấp số nhân (un) có u2 = 2 và u5 = 16. Tìm q và u1 của cấp số nhân đã cho.

Bài 2. Dãy số (un) có un = 4.3n có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội?

Bài 3. Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và q=12. Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.